4.2. Финансовые вычисления как основа инструментария финансового менеджера

любое решение финансового характера (т. е. финансовая операция) должно основываться на принципе экономической целесообразности;

одним из акцентированных выражений упомянутой целесообразности является получение дохода от осуществления финансовой операции;

следствием неиспользования (бездействия) любого ресурса (в том числе и денежных средств) является прямой или косвенный убыток (потеря);

в приложении к денежным средствам косвенный убыток (потеря) проявляется: а) в неполучении дохода, который мог бы быть сгенерирован, если бы эти средства были пущены в оборот; б) в обесценении денежных средств (т. е. покупательная способность денежной единицы в условиях инфляции, которая, как правило, всегда сопутствует экономическому развитию, с течением времени снижается);

таким образом, денежные средства не должны бездействовать, а целесообразность типовой финансовой операции должна определяться исходя из критерия эффективности с учетом фактора времени.

В общей совокупности действий по управлению фирмой, выполняемых различными представителями менеджерского корпуса, роль финансового менеджера (аналитика) в технологическом аспекте сводится, во-первых, к финансово-аналитическому обоснованию целесообразности тех или иных хозяйственных операций и, во-вторых, к подготовке и осуществлению финансовых операций. Понятно, что совокупность хозяйственных операций гораздо шире, нежели совокупность финансовых операций: первые имеют отношение к любым аспектам деятельности фирмы, тогда как вторые касаются лишь финансовых активов и обязательств. Техника финансовых вычислений применима в обоих случаях, а возможность ее практического приложения обосновывается следующими утверждениями:

как и любые ресурсы предприятия, денежные средства должны эффективно использоваться, т. е. с течением времени приносить определенный прямой или косвенный доход;

практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов (денежных средств);

в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия растянуты во времени;

с каждой операцией можно увязать некоторый фактический или условный денежный поток;

элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без определенных преобразований не сопоставимы;

преобразования элементов денежного потока в сопоставимый вид осуществляются путем применения операций наращения и дисконтирования;

наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с различными параметрами.

Как уже упоминалось, в основе финансовых вычислений — понятие временной ценности денег, которое может быть выражено простой сентенцией: рубль «сегодня* более ценен, чем тот же самый рубль, но «завтра». Между рублем «сегодня» и рублем «завтра» есть существенное различие: первый находится в распоряжении лица, им обладающего, а потому этот рубль может использоваться им в целях потребления; второй лишь ожидается, причем не исключено, что в силу ряда причин рубль «завтра» так и не будет получен.

Различие между рублем «сегодня» и рублем «завтра» распространяется и на произвольные суммы, относящиеся к разным моментам времени. А именно: денежным суммам 50 и 5Ь относящимся соответственно к моментам времени («сегодня») и («завтра»), свойственна временная несопоставимость — в частности, если аналитиком принимается во внимание вполне естественная предпосылка о временной ценности денежных средств, то непосредственное суммирование величин 5о и недопустимо.

Наращение и дисконтирование. В финансовых расчетах временная несопоставимость и плата за отказ от потребления учитываются с помощью операций наращения и дисконтирования. Операция наращения осуществляет переход от «сегодня» к «завтра» (т. е. 50 приводится к виду, сопоставимому с операция дисконтирования — наоборот (т. е. 51 приводится к виду, сопоставимому с 50). Этот переход осуществляется с помощью некоторой процентной ставки г:

Несложно понять, что наращение и дисконтирование — суть взаимообратные процедуры. Смысл этих операций и суммовых величин, в них участвующих, таков: .Р50 — это «завтрашний» аналог «сегодняшней» суммы 50 (50 как бы смещена в точку а Р51 — это «сегодняшний» аналог «завтрашней» суммы 51 (51 как бы смещена в точку ?0)- Поэтому величины о и 51 уже сопоставимы между собой — они относятся к моменту ?1 и их можно суммировать; точно так же сопоставимы между собой величины 5о И Р51 — ОНИ ОТНОСЯТСЯ К моменту ?()• Приведенные формулы расчета относятся к некоторому периоду (?1 — ?0)> называемому базисным.

Как видно из (4.1), экономический смысл финансовой операции наращения состоит в определении величины той суммы ^50, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции, если исходная сумма равна 50. Раскрыв скобки в (4.1), получим:

Отсюда видно, что по окончании операции возвращается не только отложенная для целей потребления сумма 50, но и некая добавка. Поскольку 50 • г > 0, видно, что время генерирует деньги или, что равнозначно, деньги имеют временную ценность. Отсюда же следует, что ставка г характеризует величину временной ценности: чем больше значение ставки, тем больше наращение. Ставка г как бы уравнивает величины 50 и ^50: владельцу суммы 50 безразлично, иметь ли 50 «сегодня» или отдать ее во временное пользование и получить ^50 «завтра»; эти суммы для него одинаковы по своей ценности. Поскольку наращение и дисконтирование взаимообратны, несложно построить подобную цепочку рассуждений и для дисконтирования.

С помощью (4.1) можно дать наглядную интерпретацию ставки г. Для этого перепишем (4.1) следующим образом:

Отсюда видно, что ставка г представляет собой отношение приращения от финансовой операции (т. е. полученного эффекта) к исходной величине исходного капитала; это показатель эффективности операции — ее доходность.

Таким образом, в типовой операции наращения (или дисконтирования) присутствует четыре величины, три из которых заданы, а четвертая ими определяется исходя из применяемой схемы начисления процентов. Так, в случае наращения к заданным величинам относятся: сумма РУ (сумма «сегодня»), процентная ставка г и количество базисных интервалов п\ сумма № (сумма «завтра») будет рассчитываться по некоторому алгоритму наращения.

Рис. 4.1. Иллюстрация операций наращения и дисконтирования

Во-первых, как показано на рис. 4.1, временные моменты, в которых находятся соответственно менеджер (аналитик), сумма PV и сумма FV, не совпадают. В большинстве практических задач чаще всего аналитик и сумма PV находятся в одной точке временной оси — точке 0. Во-вто- рых, наращение (дисконтирование) может выполняться с использова-нием различных схем начисления процентов, что сказывается на значе-нии зависимой (определяемой) величины. В-третьих, возможно варьи-рование не только схемами начисления, но и другими параметрами (на-пример, ставкой г). В-четвертых, хотя PV и FV при г > 0 разнятся по величине, для аналитика они равны (точнее, равнозначны) по своей ценности.

Уместно заметить, что идея наращения и дисконтирования имеет давнюю историю. Таблицы сложных процентов были впервые разработаны и опубликованы математиками Я. Тренченом (Jan Trenchant) и С. Стевином (Simon Stevin, 1548—1620) соответственно в 1558 и 1582 годах, причем именно Стевин как раз и высказал идею о возможности использования чистой дисконтированной стоимости для оценки финансовых инвестиций [The History of Accounting, p. 208]. Однако лишь в конце XIX в. эта идея получила активное развитие в работах экономистов.

Процентные ставки и схемы начисления. Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р] требуемая доходность — г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р • г. Таким образом, размер инвестированного капитала через п лет (Rn) будет равен:

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, величина инвестированного капитала FVn к концу п-то года будет равна:

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

более выгодной является схема простых процентов, если срок кредита менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок кредита превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным кредитам (срок погашения до одного года). В этом случае в качестве показателя п в формуле (4.3) берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя (1 +г)я, называемого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений г и п (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в книге, можно найти в приложении 3). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:

Экономический смысл множителя FMI (г,п) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через п периодов от «сегодня» при заданной процентной ставке г. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

Множитель FMl(r,n) отражает наращение; в инвестиционно-финансовом анализе используется также и его противоположность — дисконтирующий множитель для единичного платежа. Базовая расчетная формула для анализа с помощью дисконтированных оценок является следствием формулы (4.5)

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через п лет (FVn) с позиции «сегодня» (например, текущего момента) будет меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означа ет также, что для инвестора сумма Р в данный момент времени и сумма Л^ через п лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет.

Значения множителя FA^2(r,n) также табулированы, а его экономический смысл заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» ценность одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции «сегодня» равна одна денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса п периодов спустя от «сегодня», при заданных процентной ставке (доходности) г и частоте начисления процента: Напомним еще раз, что дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим моментом (см. рис. 4.1).

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговариваются величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле ис-ходной годовой ставки, по формуле

Поскольку /< 1, то (1 + / • г) > (1 + г/, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

В финансовых контрактах могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. При этом, как правило, оговаривается номи-нальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравни-тельный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая про-центная ставка ге, обеспечивающая переход от Р к при заданных зна-чениях этих показателей и однократном начислении процентов и рас-считываемая по формуле

Из формулы (4.10) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1. Именно ставка ге является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Денежные потоки и их оценка. Одним из основных элементов ин-вестиционно-финансового анализа является оценка денежного потока С?г,С?т генерируемого в течение ряда временных периодов в ре-зультате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока С^ могут быть либо незави-симыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты изложения материала допускается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т. е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток на-зывается потоком пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо (рис. 4.2).

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать, исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распре-

Рис. 4.2. Графическое представление потоков постнумерандо и пренумерандо

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока: к каждому элементу потока применяется формула (4.5). Поэтому будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо РУрз( рассчитывается по формуле

Для наглядности приведем пример типовой ситуации, когда возникает необходимость решения прямой задачи. Предприниматель имеет возможность делать периодические взносы в банк в течение длительного периода и пытается оценить, какая сумма будет накоплена им к концу этого периода. Подобные расчеты и представляют собой пример решения прямой задачи.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока: к каждому элементу потока применяется формула (4.6). Поэтому дисконтированная стоимость ис-ходного денежного потока постнумерандо РУрз( рассчитывается по фор-муле

Несложно показать, что для потоков пренумерандо формулы (4.11) и (4.12) трансформируются следующим образом:

Оценка аннуитета. Возможны два варианта его определения. Со-гласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно элементы денежного потока одинаковы по ве-личине СРХ = СЕ2 = ... = СРп = А (именно этот подход является более распространенным на практике). Для оценки будущей и дисконтиро-ванной стоимостей аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регулярного поступления (Л), продолжительности аннуитета — п периодов и соответствующей базисному периоду процентной ставке г можно воспользоваться формулами (4.15) и (4.16)

Экономический смысл РМЗ(г,п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Значения множителя зависят лишь от процентной ставки (г) и срока действия аннуитета (п), причем с увеличением каждого из этих параметров величина РМЗ(г,п) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний г и п можно табулировать.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться формулами (4.18) и (4.19)

Экономический смысл ?М\(гуп), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регуляр-ными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п равных периодов с задан-ной процентной ставкой г. Значения этого множителя также табулиро-ваны.

При выполнении некоторых расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение для аннуитетов постнумерандо и пренумерандо делается на основе формул

Следует обратить внимание читателя на следующее обстоятельство. Во всех приведенных формулах оценивания ключевым параметром яв-ляется процентная ставка г, играющая роль либо ставки наращения, либо ставки дисконтирования. Ее экономический смысл таков: г равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал. Поскольку инвестиционные возможности различных инвесторов (аналитиков) не одинаковы, каждый из них закладывает в модель оценки свое значение ставки — отсюда появляется множественность стоимостных оценок на финансовом рынке, что и приводит к операциям купли/продажи финансовых активов. Ставку г можно представить состоящей из двух частей:

Отсюда видно, что значение ставки может варьировать даже у одного инвестора — если, по его мнению, два оцениваемых актива различаются рисковостью, значения ставки г, используемые для их оценки, будут различными.

Заканчивая раздел, отметим, что наиболее полную и систематизированную сводку формул и методов прикладной финансовой математики, а также примеры их использования можно найти в работе: [Уланов].

В приложении 2 приведен набор формул расчета базовых показателей финансовой математики.