загрузка...

Математика как наука: предмет, методы, понятия

Математика (от греч. пШИёта - наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах дейст­вительного мира. Она включает в себя: арифметику, алгебру, гео­метрию, тригонометрию, высшую математику (аналитическая геометрия, линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление) и др. [I].

Число — важнейшее понятие математики. Содержание его меня­лось на протяжении веков. В связи со счетом возникло понятие о целых положительных числах (натуральных), а затем Евклид и Ар­химед (III в. до н.э.) ввели понятие бесконечности натурального ряда чисел. Индийцы изобрели цифры для записи натурального числа при помощи десяти знаков.

Задачи измерения длин, площадей, где предполагалось выде­ление долей, привели к понятию рационального (дробного) чис­ла — числа вида т/п, где тип — целые числа и п * 0. Понятие отри­цательного числа возникло у индийцев в VI—XI вв. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррацио­нальных чисел. В Древней Греции были зафиксированы иррацио­нальные отношения (отношения несоизмеримости), но они еще не имели статуса чисел. Иррациональные числа представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями и выра­жаются через рациональные приближенно.

В связи с решением квадратных и кубических уравнений в XVI в. были введены комплексные числа вида х + />, где х и у — дей­ствительные числа, /— мнимая единица. Вместе с ними возникло понятие мнимого числа. Для многих крупных ученых XVII в. алгеб-

раическая и геометрическая сущность мнимых величин представ­лялась неясной, загадочной и даже мистической. Г. Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небы­тием». В физике закономерности микромира описываются ком­плексными величинами. Математический язык благодаря боль­шой емкости, точности и гибкости позволяет выражать отноше­ния, выходящие за рамки наглядных представлений. Сегодня математики признают, что будет ошибкой ассоциировать понятие комплексного (в частности, мнимого) числа с чем-то нереальным.

Математика характеризуется:

о высокой степенью абстрактности ее понятий (точки без размеров, линии без толщины, множества любых предметов);

0 высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обо­значает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.д.).

Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.

Предметом математики являются системы математических объектов. При этом под системой понимается множество объек­тов с множеством отношений, существующих между этими объек­тами.

Математическими объектами называются абстрактные идеа­лизированные объекты. Математические объекты играют важную роль в формировании математических теорий.

Абстрактный объект — это объект, наделенный теми свойства­ми, которые содержатся в его определении. Математика исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, со­храняя в них лишь то, что содержится в их определениях. В связи с этим результаты в математике получаются путем логических вы­водов из самих этих определений, так что чистая математика име­ет дедуктивный умозрительный характер.

Математические объекты не просто абстрактные объекты, но еще и идеализированные объекты (т.е.

определены посредством признаков, доведенных «до предела»). Доведение определенных признаков «до предела», «до абсолюта» называется идеализацией. В математике идеализация состоит в доведении количественных характеристик реальных объектов до нуля или до бесконечности.

Предмет математики в действительном мире представляет со­бой пространственные формы и количественные отношения дей­ствительного мира. Отсюда возникает вопрос: каким способом выделить количественные отношения в чистом виде, т.е. как опи­сать их так, чтобы это описание не зависело от содержания объек­тов. Примеры количественных отношений действительного мира общеизвестны. Это отношения равенства, геометрические отно­шения, отношения соизмеримости и т.д. [2].

В истории развития математики постепенно формировались ее основные методы — анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и абстрагирование, аналогия и различные типы аксио­матик (содержательная, полуформальная и формальная).

Методы выделения формы в чистом виде весьма разнообраз­ны. Для этого применяются логико-математические языки. При этом существенное значение имеет аксиоматический метод.

Аксиоматический метод предполагает описание количествен­ных отношений без учета специфики объектов, между которыми эти отношения имеют место. Существенной чертой этого метода является то, что в аксиоматической теории все термины разделя­ются на исходные и производные, а предложения на недоказуе­мые (аксиомы) и доказуемые (теоремы). Доказательство теорем основывается на формальнологической дедукции, или выводе их из аксиом с помощью правил логики. В зависимости от подразде­ления аксиом математических теорий и их логик на содержатель­ные и формальные выделяют три вида аксиоматик - содержа­тельные, которые имеют содержательные аксиомы математиче­ской теории и неформализованную логику (например, евклидова геометрия в изложении самого Евклида), полуформальные, кото­рые имеют формальные аксиомы и неформализуемую интуитив­ную логику (например, евклидова геометрия в том виде, как ее представил Д. Гильберт в книге «Основания геометрии»), и пол­ностью формальные, содержащие формальные аксиомы как собст­венно математической теории, так и логики.

Хотя математика является единой системой знаний, она под­разделяется на теоретическую (чистую) и прикладную. В рамках теоретической математики принято различать содержательное и формальное знание. К содержательной математике относятся теории, изучающие системы абстрактных математических объек­тов (числовые системы, алгебраические системы, системы гео­метрических фигур и т.д.). К формальной математике принадле­жат формальные теории (исчисление), предложения и термины которых не обязательно связаны с интерпретацией, т.е. с их зави­симостью от эмпирических или абстрактных систем объектов.

В истолковании предмета математики выделяют три аспек­та - синтаксический, семантический и прагматический. Фунда­ментальной характеристикой математического познания являет­ся доказательство.

Итак, возрастание роли математики и ее методов является од­ной из важнейших характеристик науки XX и XXI вв. Логика при этом выступает и как метод математики, и как математическая теория [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Математика // Энциклопедия книжного клуба XXI века. М., 2002. Т. И.

2. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2002.

6.2.

<< | >>
Источник: Под редакцией проф. Ю.В. Крянева, проф. Л.Е. Моториной. ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ (ФИЛОСОФИЯ НАУКИ) (2-е издание, переработанное и дополненное). 2011

Еще по теме Математика как наука: предмет, методы, понятия:

  1. Глава 1. Экономика как наука: предмет, методы и этапы развития. Военно-экономическая теория
  2. 1 ВОЗРАСТНАЯ ПСИХОЛОГИЯ КАК НАУКА: ПРЕДМЕТ И РАЗДЕЛЫ
  3. 1. КРИМИНОЛОГИЯ КАК НАУКА, ЕЕ ПРЕДМЕТ, МЕТОДОЛОГИЯ И МЕСТО В СИСТЕМЕ ДРУГИХ НАУК
  4. ГЛАВА 1. КРИМИНАЛИСТИКА КАК НАУКА И УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА. ПРЕДМЕТ, ОБЪЕКТЫ И СИСТЕМА КРИМИНАЛИСТИКИ
  5. 1.1. Понятие криминологии как науки и ее предмет
  6. 4.1. Понятие, предмет и метод налогового права
  7. 1.2. Понятие, предмет, метод и теория налогового права
  8. 1.1. Понятие, предмет и метод гражданского права
  9. § 3. Понятие, предмет и метод гражданского процессуального права
  10. § 1. Понятие, предмет и источники муниципального права как науки
  11. § 1. Понятие, предмет и метод финансового права
  12. Т е м а 1 ПОНЯТИЕ, ПРЕДМЕТ, МЕТОД, СИСТЕМА И ИСТОЧНИКИ НАЛОГОВОГО ПРАВА
  13. 1.2. Понятие, предмет, метод бюджетного права
  14. 2.1. Налоговое право России: понятие, предмет и методы правового регулирования
  15. ЛЕКЦИЯ 4 Понятие, предмет и метод валютного права
  16. Глава 1 ПОНЯТИЕ, ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЛОГОВОГО ПРАВА
  17. Тема 2. НАЛОГОВОЕ ПРАВО. ПОНЯТИЕ, ПРЕДМЕТ И МЕТОД РЕГУЛИРОВАНИЯ. ИСТОЧНИКИ НАЛОГОВОГО ПРАВА