загрузка...

Философия и проблема обоснования математики

Философия математики является, с одной сторо­ны, разделом философии, а с другой — общей методологией мате­матики. Ее основные проблемы - определение сущности матема­тики, ее предмета и методов, места математики в науке и культуре. Методы философии математики — рефлексивный, проективный, нормативный. Философия математики выполняет функцию про­гностической ориентации математики.

Вопрос о статусе математических объектов тесно связан с бо­лее общим вопросом о смысле существования в математике. Ка­кие объекты допустимы в математике вообще? Для более глубоко­го выяснения этого вопроса обратимся к истории математики и истории философии [1].

Пифагореизм — первая философская теория математики — рас­сматривал математическое знание как необходимую основу вся­кого другого знания и наиболее истинную ее часть. Как философ­

ское течение пифагореизм выходит за рамки собственно филосо­фии математики, но тем не менее в центре его - определенное истолкование сути математического знания.

Истоки математики уходят в глубокую древность — к Египту и Вавилону. Однако большинство историков науки относит появле­ние математики как теоретической дисциплины к более поздне­му, греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие довольно слож­ных и точных результатов, не найдено собственно математическо­го, дедуктивного рассуждения, т.е. вывода одних формул и правил на основе других, или математического доказательства в обычном смысле этого слова.

Громадный сдвиг, осуществленный греческой математикой, заключается в идее доказательства, или дедуктивного вывода.

Греки заметили, что арифметические действия обладают осо­бой очевидностью, безусловной необходимостью, принудитель­ной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах, и истолковали это обстоятельство как проявление особого отношения чисел к истине. У пифагорей­цев философия превратилась в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности того или иного утверждения о ми­ре достигалось сведением его к числовой гармонии.

Ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над при­родой самой математической закономерности, истоками ее безус­ловной истинности. Однако у Платона мы находим уже некото­рую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врожденны, они представляют собой впечатления об истине са­мой по себе, которые душа получила, пребывая в более совершен­ном мире, мире идей. Поэтому математическое познание есть просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения при­роды, а лишь видения разумом.

Математический атомизм существовал наряду с пифагорей­ской философией. Это более реалистическая (с современной точ­ки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкип­па и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в гео­метрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неявно содержал в себе определенную антитезу пифа­гореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (чис- ла) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические зако­номерности выступают вторичными по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует ма­тематическому и определяет свойства математических объектов.

Эту линию продолжает Аристотель. Он отверг платоновский мир идей, а вместе с ним и нефизическое существование матема­тических объектов. Объекты математики для Аристотеля — мыс­ленное отвлечение от реальных вещей.

Взгляд на математические объекты как на отвлечения много­образия свойств реальных объектов типичен и для науки XVII—XVIII вв. Ньютон, например, истолковывает геометрию как «чистую математику», т.е. как абстрактную схему возможно­го механического движения. Такая трактовка математического существования вошла в противоречие с фактами. Поэтому уже Лейбниц поставил вопрос, должна ли математическая абстрак­ция отражать непосредственную реальность. Математики стали постепенно осознавать, что математические образы имеют неко­торую автономию от физической реальности. Позже свои фило­софские взгляды на математику предлагали И. Кант (идея априо­ризма) и Г. Кантор (представления об истине).

В начале XIX в. О. Коши ввел в математику теоремы существо­вания, которые ознаменовали новый этап в понимании статуса математического объекта. В понимании математического сущест­вования на первый план стал выдвигаться логический момент, требование обосновать допустимость того или иного предположе­ния без ссылки на внешние эмпирические обстоятельства, но ис­ключительно на основе собственных математических определе­ний.

К концу XIX в. было уже понятно, что математика представля­ет собой особую науку, не связанную непосредственно с ка­кой-либо эмпирической реальностью. Она должна лишь удовле­творять требованию логической непротиворечивости.

Требования непротиворечивости определений математики декларативны до тех пор, пока не указаны эффективные способы обоснования этой непротиворечивости. Отсюда проистекает про­блема обоснования математики в XX в. Одной из первых попыток обоснования математики в тот период была идея Кантора о том, что все существующие математические теории можно свести к разработанной им теории множеств. Сколь простой ни казалась логика проведения подобного рода теоретико-множественного обоснования математики, по ряду причин оно оказалось невоз­можным. Например, Б. Рассел обнаружил логическое противоре­чие, выводимое им из определений исходных понятий теории множеств и основных ее предложений. Его суть заключалась в следующем. Согласно основным принципам теории множеств, в эту теорию можно ввести такие объекты, как «множество всех множеств» и «множество всех множеств, не содержащих себя в ка­честве своего элемента». В соответствии с данными принципами можно высказать суждение о том, что «множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента» принадлежит множеству всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента. Такое суждение не является ни истинным, ни ложным, что означает логическое противоречие (парадокс). Так как логи­чески противоречивая теория не могла быть положена в основу математики, то канторовское обоснование математики было от­вергнуто.

Подобного рода трудности, а также другие парадоксы теории множеств привели к кризису в обосновании математики. Выход из кризиса канторовского обоснования математики Б. Рассел и

А. Уайтхед видели в изменении гносеологических оснований мате­матики, т.е. в ограничении идеализации канторовскойтеории мно­жеств. Данное ограничение запрещало вводить такие объекты, как «множество, содержащее себя в качестве своего элемента». В новой формулировке разрешалось вводить множество только в том слу­чае, если его элементами были объекты, имеющиетип, непосредст­венно предшествующий типу вводимого множества.

Вследствие этого теория Рассела становилась теорией, изучающей предметы и множества, классифицируя их на типы, и получила название «тео­рия типов». Эту теорию именуют также логикой, поскольку терми­ны теории множеств могут быть истолкованы как логические тер­мины. Данное направление получило название «логицизм».

Математика, построенная на основаниях логицизма, доволь­но сильно отличалась от обычной математики. Во-первых, в силу ограничений гносеологических оснований из математики исключались целые разделы, которые играют в ней весьма суще­ственную роль. Во-вторых, сама логицистская математика при­нимала неестественный вид. Например, для каждого типа надо было вводить по существу собственную арифметику.

Изменения гносеологических оснований теории множеств Кантора вели к исключению парадоксов, обнаруженных Рассе­лом и другими математиками, но метатеоретическими средствами было невозможно доказать непротиворечивость теорий типов. Эти и другие причины привели научное сообщество к выводу, что теория типов не представляет удовлетворительных оснований для всей математики. Главная причина этого связана с гносеологиче­скими основаниями теории типов, вводящими идеализации, ко­торые сильно сужали предмет математики.

Формалистское направление предложило принципиально иной подход к обоснованию математики одного из основоположников в лице Д. Гильберта. С точки зрения формализма обоснование математической теории не должно зависеть от ее содержания, а опираться только на ее формы, т.е. доказательство должно быть формальным (синтаксическим), а не семантическим. Одна­ко гильбертовская программа обоснования математики оказалась невыполнимой по следующим причинам. Во-первых, хотя че­рез форму теории и можно выражать ее содержание, но для неко­торых теорий, например таких, как арифметика натуральных чи­сел (теорема Гёделя о неполноте формализованной арифметики), его нельзя выразить полностью. Во-вторых, оказалось невоз­можным с помощью средств гильбертовской математики доказать непротиворечивость арифметики чисто синтаксическим мето­дом.

Интуиционисты Г. Вейль и А. Гейтинг выдвинули критерий интуитивной ясности при оценке истинностных значений сужде­ний. Гносеологические основания интуиционистской математи­ки состояли в принятии принципов, допускающих построение математических объектов в рамках абстракции потенциальной осуществимости.

Под основанием математики интуиционисты понимали уда­ление из предмета математики всех тех объектов, существование которых предполагает сильные идеализации. При таком усло­вии из предмета математики устраняются актуально бесконечные множества, но потенциально бесконечные множества остаются, их существование укладывается в рамки интуиционистских идеа­лизаций. Главный недостаток интуиционистского обоснования математики критики интуиционизма видели в том, что при таком подходе сильно сужается предмет математики.

Все рассмотренные выше направления пытались обосновать математику только исходя из гносеологических предпосылок и исключали из математики все, что в эти рамки не укладывалось. А поскольку это вело либо к противоречиям, либо к сужению предмета, то в математике создавались критические ситуации.

Отечественная школа конструктивизма А.А. Маркова по- иному ставила вопрос обоснования математики. Конструктивизм видел свою задачу в выделении конструктивной части обычной математики и изучении ее в чистом виде. Это имело большое зна­чение в связи с развитием вычислительной математики. Обосно­вание конструктивистской математики предполагало конструк­тивное построение самих математических теорий. Сточки зрения конструктивных теорий обоснования далеко не вся классическая математика могла быть обоснована, но вопрос не ставился так, что неконструктивные части математики должны быть удалены из ма­тематики, поэтому их обоснование или отбрасывание не входило в задачу конструктивизма.

Таким образом, все рассмотренные направления в обоснова­нии математики исходили из принимаемыхтем или иным направ­лением идеализаций. Различные направления в обосновании ма­тематики плодотворны постольку, поскольку они раскрывают разные стороны содержательной математики как живого расши­ряющегося знания. Именно эти направления дали возможность выявить такую фундаментальную особенность математики, как неполнота формализации любых содержательных математиче­ских теорий. Различие между существующими обоснованиями математики обусловлено различным пониманием математиче­ского объекта.

Другая особенность математики, раскрываемая в процессе ее обоснования, состоит в том, что оправданно говорить о феномене «множественности математик».

Начиная с 1960-х гг. намечается тенденция к сдвигу проблема­тики обоснований математики в направлении задач, связанных с «машинной математикой». Вследствие этого можно говорить о возникновении новой гносеологической ситуации. Перспективы в развитии математики и уяснение ее оснований начинают зави­сеть от взаимодействия человека и машины, при котором возни­кают специфические критерии математического доказательства [2. С. 115-125].

Среди заметных тенденций в науке XX в. необходимо также от­метить увеличение значения математики в науке, особенно в есте­ствознании (хотя еше с античности бытует мнение, что научность той или иной области знания определяется степенью использова­ния в ней математики). Такую тенденцию часто называют матема­тизацией науки. Это явление порождает философско-методологи­ческие проблемы и требует глубокого осмысления.

В XX в. во многих науках начинают широко использоваться методы математической гипотезы и математического моделиро­вания. Их применение объясняется тем, что современная наука в основном имеет дело с идеальными (либо еще не существующи­ми, либо принципиально не наблюдаемыми объектами). Метод математической гипотезы предлагает богатые возможности вы­бора подходящих математических конструкций, решая проблемы рационального объяснения и прогнозирования в различных нау­ках. Метод математического моделирования позволяет прибли­зиться к целостному представлению объекта, что особенно важно при изучении сложных самоорганизующихся систем. Кроме того, данные методы позволяют спрогнозировать явление в любой сфе­ре жизнедеятельности человека и поэтому получают широкое рас­пространение не только в естествознании, ной в социологии, эко­номике, других социально-гуманитарных науках. Особо следует выделить современную космологию и социальную экологию.

Итак, философия математики определяет ее сущность, пред­мет и закономерности развития, а также раскрывает ее место в со­временных науке и культуре.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Антология философии и математики ; отв. ред. и сост. А.Г. Барабашев и М.И. Панов. М., 2002.

2. Рузавин Г.И. Философские проблемы математики // Философские проблемы естествознания. М., 1985.

<< | >>
Источник: Под редакцией проф. Ю.В. Крянева, проф. Л.Е. Моториной. ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ (ФИЛОСОФИЯ НАУКИ) (2-е издание, переработанное и дополненное). 2011

Еще по теме Философия и проблема обоснования математики:

  1. Математика, естествознание и метафизика в философии И. Канта
  2. ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ
  3. 9.2 Знание и мнение. Проблема обоснованности знаний
  4. ПРОБЛЕМА СОЗНАНИЯ В ФИЛОСОФИИ
  5. ПРОБЛЕМА БЫТИЯ В ФИЛОСОФИИ XX в.
  6. ПРОБЛЕМА БЫТИЯ В ФИЛОСОФИИ
  7. ЧАСТЬ II ФИЛОСОФИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРОБЛЕМЫ
  8. Раздел І Общие проблемы философии науки
  9. ТЕМА 17 ФИЛОСОФИЯ, ЕЕ ПРОБЛЕМЫ, ФУНКЦИИ, МЕСТО В КУЛЬТУРЕ
  10. 6. 1. Проблема сознания и ее место в философии. Структура сознания и его функции.
  11. 8. 4. Проблема истины в философии и науке. Критерий истины.
  12. ТЕМА 25 РЕЛИГИЯ. ТЕМА БОГА В ФИЛОСОФИИ. ПРОБЛЕМА ДУХОВНОСТИ
  13. ЭСТЕТИКА КАК «ФИЛОСОФИЯ ПРЕКРАСНОГО». СООТНОШЕНИЕ ФИЛОСОФИИ И ИСКУССТВА
  14. Математика как наука: предмет, методы, понятия