2.2.4 Коррекция определения числа и аксиома бесконечности

Формулировка парадокса затрагивает не только противоречивость рассуждения, но и другой важный аспект логицистской программы Г.Фреге, который связан с определением арифметических понятий в логических терминах. Определение числа по Фреге, как оно было сформулировано выше, требует рассматривать классы, состоящие из элементов, принадлежащих к различным типам. Например, уже определение числа два предполагает класс, образованный из нуль-класса и класса, элементом которого является сам нуль-класс. Однако именно это и содержит парадокс, который обнаружил Рассел. Рассел сохраняет логицистскую установку на то, что арифметика сводима к логике, но в свете установленного противоречия определение числа должно быть модифицировано таким образом, чтобы исключить смешение типов.

Рассел выходит из затруднения следующим образом. Он сохраняет общий фрегеанский подход к числу с точки зрения классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии. Сохраняет он и определение нуля как класса неравных самим себе объектов. Модификация определения начинается с числа один.

Число один соответствует классу всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классом, содержащим один объект. Число два соответствует классу всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классом, который состоит из объекта, использованного при определении числа один, плюс новый объект и т.д. Определение, построенное таким способом, избегает парадокса, поскольку соблюдает требование теории типов. Объекты, используемые при определении чисел, принадлежат одному и тому же типу. Однако оно требует введения дополнительного постулата. Определение каждого последующего числа в последовательности натуральных чисел требует нового объекта. Но поскольку натуральный ряд бесконечен, постольку должно предусматриваться и бесконечное количество объектов. Так в логической системе Рассела возникает аксиома бесконечности, а именно допущение о том, что любому заданному числу n соответствует некоторый класс объектов, имеющий n членов.

<< | >>
Источник: Под ред. Лебедева М.В., Черняка А.З.. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ (Учебное пособие для вузов). 2004

Еще по теме 2.2.4 Коррекция определения числа и аксиома бесконечности:

  1. 2.2.5 Логические фикции и аксиома сводимости
  2. Случайные числа (random numbers)
  3. Глава 4 ПОЧЕМУ НЕ СПАСАЮТ АКСИОМЫ?
  4. Метод бесконечного цепного повтора сравниваемых проектов
  5. ПРЕЛИМИНАРНЫЕ КОРРЕКЦИИ (антиципации)
  6. Коррекция поведения типа «А»
  7. Коррекция поведения типа «А»
  8. ПРЕЛИМИНАРНЫЕ КОРРЕКЦИИ (антиципации) (от лат. prae — перед + limen — нач.)
  9. КОРРЕКЦИЯ НА УГАДЫВАНИЕ
  10. ПРИНЦИП СЕНСОРНЫХ КОРРЕКЦИЙ
  11. ПРИНЦИП СЕНСОРНЫХ КОРРЕКЦИЙ (англ. principle of sensory corrections)
  12. КОРРЕКЦИЯ НА УГАДЫВАНИЕ (англ. correction for guessing; correction for chance)
  13. 1.8. Дела об установлении факта смерти лица в определенное время и при определенных обстоятельствах в случае отказа органов загса в регистрации смерти
  14. 1.8. Дела об установлении факта смерти лица в определенное время и при определенных обстоятельствах в случае отказа органов загса в регистрации смерти
  15. 4. Надежность частей теста, ее определение методом расщепления. Уравнение Спирмена – Брауна. Определение коэффициента надежности с помощью формул Дж. Фланагана и Рюлона
  16. § 2. Определение и юридическая характеристика
  17. 12.3. Судебные определения
  18. 11.7. Определения суда